RSS
sobota, 16 lutego 2013



Wartość bezwzględna

Wartością bezwzględną (modułem) liczby x nazywamy liczbę spełniającą warunek:|x|={x    dla  x0x    dla  x<0
|x| ≥ 0 
|x| = |-x
-|x| ≤ x ≤ |x|
|x|=x2
|a + b| ≤ |a| + |b
|a - b| ≤ |a| + |b
|a · b| ≤ |a| · |b
ab=ab, dla b ≠ 0



 

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to funkcja przypisująca liczbie rzeczywistej równej zero lub większej od zera tę samą liczbę, a liczbie ujemnej przypisująca liczbę przeciwną.





Proporcja

Równość dwóch stosunków (ułamków) nazywamy proporcją.
a : b = c : d    lub    ab=cd ,  gdzie b ≠ 0 i d ≠ 0. 
a i d - wyrazy skrajne,
b i c - wyrazy środkowe.
Jeżeli a : b = c : d, to: aaąb=ccąd    oraz    aąbb=cądd,    dla b ≠ 0 i d ≠ 0, a ≠ ąb i c ≠ ąd.

Stosunek i proporcja

Jako, że słowo proporcja i stosunek często są mylone, wprowadźmy rozróżnienie między tymi pojęciami, gdyż oznaczają one nieco inne rzeczy. Nie musisz się w to wgryzać. Podajemy to dla formalnego porządku.

Przykładowo, jeśli jeden bukiet kwiatów składa się z jednej białej i dwóch czerwonych róż, a drugi bukiet z dwóch białych i czterech czerwonych róż, to ilość białych i czerwonych róż w tych bukietach zwiększa się proporcjonalnie. Wink

Proporcja jest to relacja między dwoma stosunkami. Cytuję (za Jan Zydler - Geometria) :

"Jeżeli stosunek dwóch liczb a i b jest równy stosunkowi dwóch innych liczb c i d, to możemy te dwa stosunki połączyć znakiem = pisząc:

a : b = c : d


i powiedzieć, że dane cztery liczby tworzą proporcję.

Proporcja ta wyraża, że pierwsza z danych liczb jest tyle razy większa (względnie mniejsza) od drugiej, ile razy trzecia jest większa (względnie mniejsza) od czwartej. Tak np. cztery liczby: 15, 5, 12 i 4 tworzą proporcję:


15 : 5 = 12 : 4,


dlatego że stosunek 15 : 5 jest równy stosunkowi 12 : 4."


Proporcję możemy zapisać na dwa sposoby. Jeśli zapisujemy ją w postaci


: b = c : d


to wyrazy  a i d nazywamy wyrazami skrajnymi,  b i c – wyrazami środkowymi.


Jeśli przedstawiamy proporcję w postaci ułamka, to wstawiamy po prostu liczby do licznika i mianownika.

 




Procent

Jeden procent pewnej liczby a (lub innej wielkości), to setna część tej liczby (wielkości), co oznaczamy 1%a
1%a=1100a p%a=p100a



Cechy podzielności liczb naturalnych

Podzielność przez: Licza naturalna jest podzielna przez:
2 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 albo 8
3 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3
4 gdy liczba wyrażona dwiema ostatnimi jej cyframi, dzieli się przez 4
5 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 albo 5
6 gdy dzieli się przez 2 i przez 3
7 gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby dzieli się przez 7
8 gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8
9 gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9
10 gdy ostatnią jej cyfrą jest 0
11 gdy różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych dzieli się przez 11

Zobacz video



Działania na liczbach

Rodzaj Zapis Definicja Własności
Dodawanie a + b = c a + 0 = a
0 - element neutralny dodawania
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
Odejmowanie a - b = c a - 0 = a a - b = a + (-b)
Mnożenie a · b = c a · 1 = a
1 - element neutralny mnożenia
a · b = b · a
(a · b· c = a · (b · c)
a · (b + c) = a · b + a · c
Dzielenie a : b = c a : b = a ·  1b , gdzie b ≠ 0 Jeżeli b ≠ 0, to a : b = c ⇔ a = b · c



Zbiory liczbowe

Zbiór liczbowy to zbiór, którego elementami są liczby
Zbiór liczb naturalnych N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Zbiór liczb całkowitych Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Zbiór liczb wymiernych Q={ x:x=pq,  pZ,  qN }
Zbiór liczb niewymiernych Liczbą niewymierną nazywamy liczbę, która nie jest liczbą wymierną, czyli nie daje się przedstawić w postaci ułamka. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.
Zbiór liczb rzeczywistych Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych.



Relacje między zbiorami

Pojęcie Oznaczenie Definicja Zapis symboliczny
Równość zbiorów = Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B A = B ⇔ ∀x (xA ⇔ xB)
Inkluzja zbiorów Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B A ⊂ B ⇔ ∀x (xA ⇒ xB)
Iloczyn kartezjański X Zbiór A x B nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B AxB = { (xy): xA ∧ yB }
Zbiory rozłączne Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi A ∩ B = Ø



Działania na zbiorach

Działanie Oznaczenie Zapis symboliczny Własności
Suma zbiorów A ∪ B = { xxA ∨ xB } A ∪ A = A
A ∪ Ø = A
Iloczyn zbiorów A ∩ B = { xxA ∧ xB } A ∩ A = A
A ∩ Ø = A
Różnica zbiorów \ A \ B = { xxA ∧ xB } A \ A = Ø
A \ Ø = A
Dopełnienie zbioru ' A' = { xx∈Ω ∧ xA }

A ∪ A' = Ω
A ∩ A' = Ø



Zbiory

Pojęcie Definicja
Zbiór Pojęcie pierwotne (niedefiniowane)
Zbiór pusty Ø Zbiór, do którego nie należy żaden element
Zbiór skończony Zbiór jest skończony, gdy istnieje taka liczba naturalna n, że zbiór ten ma n elementów
Zbiór nieskończony Zbiór, który nie jest skończony nazywamy zbiorem nieskończonym.
Zbiór liczbowy ograniczony Zbiór liczbowy A nazywamy ograniczonym z góry (z dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba x, że każdy element a ∈ A spełnia warunek: a ≤ x (a ≥ x).



Rzymski system zapisu liczb naturalnych

Liczby naturalne Zapis rzymski Liczby naturalne Zapis rzymski Liczby naturalne Zapis rzymski
1 I 10 X 100 C
2 II 20 XX 200 CC
3 III 30 XXX 300 CCC
4 IV 40 XL 400 CD
5 V 50 L 500 D
6 VI 60 LX 600 DC
7 VII 70 LXX 900 CM
8 VIII 80 LXXX 1000 M
9 IX 90 XC 2000 MM
Prawo rzymskie, całość przepisów prawnych obowiązujących w starożytnym Rzymie. Najdawniejsze prawo rzymskie było prawem zwyczajowym, nie pisanym. Prawo prywatne było ściśle związane z prawem publicznym i znajdowało się w mocy kapłanów, którzy je interpretowali. Najstarsza kodyfikacja prawa rzymskiego to prawo dwunastu tablic. Rozwój następował poprzez ustawy zgromadzeń ludowych i edykty pretorów. Trzecim systemem prawnym było prawo obcych ludów, również tworzone przez pretorów. W okresie cesarstwa rzymskiego źródłem prawa stały się rozporządzenia (konstytucje) cesarskie oraz opinie najlepszych prawników rzymskich, mające moc wiążącą dla praktyki sądowej. Doprowadziły one prawo rzymskie do doskonałości. Za panowania Justyniana Wielkiego(VI w.) powstał tzw. kodeks Justyniana kodyfikujący całe obowiązujące prawo. Odrodzenie nauki prawa rzymskiego przyniósł XI w. (odnaleziono rękopis całości kodeksu Justyniana). W XII-XIII w. uczeni związani z uniwersytetem w Bolonii zajmowali się tłumaczeniem i objaśnianiem przepisów prawa rzymskiego. W XV w. nastąpiła recepcja tego prawa w Niemczech i dalszy rozwój jego nauki. Prawo rzymskie wywarło ogromny wpływ na prawo zachodniej i środkowej Europy (działalność niemieckiej historycznej szkoły prawa w 1. poł. XIX w.). Nauka prawa rzymskiego utrzymała się w świecie nowożytnym, jego podstawowe instytucje znalazły się w nowych kodyfikacjach prawniczych. Prawo rzymskie jest pomnikiem historycznym o nieprzemijającej wartości, z niego wywodzą się podstawowe zasady prawa nowożytnego, stanowi niezbędny składnik wykształcenia prawniczego. 
Rzymski zapis liczby, pozycyjny układ sekwencyjny rozwinięty z etruskiego zapisu liczb w antycznym Rzymie. Liczba przedstawiana jest tu jako suma liczb reprezentowanych przez symbole ustawione w kierunku ogólnie malejącym w prawo, przy czym jeśli symbol reprezentujący liczbę mniejszą poprzedza symbol liczby większej, to wchodzi on do sumy ze znakiem ujemnym (tzn. liczba reprezentowana przez ten symbol jest odejmowana od sumy zamiast być dodawaną). Jednak nie każdy symbol bezpośrednio mniejszy może poprzedzać każdy symbol większy. Musi być przestrzegana zasada, że: I może poprzedzać tylko V i X, X tylko L i C, a C tylko D i M (dlatego np. liczby 999 nie zapisuje się jako IM). Przykładowo liczba zapisywana jako MCMXCIX = 1000 - 100 + 1000 - 10 + 100 - 1 + 10 = 1999, MM = 2000. Nie można n
To jest jednak nie jedyna definicja cyfr. Cyfry są powszechnie stosowane w systemie dziesiątkowym, są one zwane cyframi arabskimi Starożytni Majowie używali (ok. 1200 lat temu) dwudziestkowego systemu liczenia. Liczby od 1 do 19 zapisywali addytywnie (kropka-1, kreska-5). Liczby większe zapisywali pozycyjnie: najpierw liczba jedności (od 0 do 19), pod nią liczba dwudziestek (od 0 do 19), pod nią liczba „dwudziestek dwudziestek”, czyli „czterechsetek” itd, ale do określenia miesięcy zazwyczaj używamy cyfr rzymskich. Tak samo jak i do wypunktowania jakiegoś działu, rozdziału są one przydatne. Cyfra to także monogram, inicjał imienia i nazwiska; ozdoba spodni, na przykład góralskich (sznurowa lub pętlowa); ornament, deseń, ale przede wszystkim cyfra to 'znak graficzny liczby'.Nie wystarczyło dysponować pojęciem wielkości. Trzeba było znaleźć metodę jej sprawnego zapisywania. I właśnie cyfry rzymskie okazały się taką doskonałą metodą. Są to znaki graficzne liczb będące kombinacją niektórych wielkich liter alfabetu łacińskiego, na przykład: 

I – 1 VI – 6 XI – 11 XVI – 16II – 2 VII – 7 XII – 12 XVII – 17III – 3 VIII – 8 XIII – 13 XVIII – 18IV – 4 IX – 9 XIV – 14 XIX – 19V – 5 X – 10 XV – 15 XX – 20L – 50 C – 100 D – 500 M –1000MCMXCVI = 1996(M = 1000; CM = 900, czyli 1000 - 100; XC = 90, czyli 100 - 10; V = 5; I = 1)Cyfry rzymskie używane przez starożytnych Rzymian są pochodzenia etruskiego (około 500 r. przed naszą erą). Tylko ten system numeracji rozpowszechniony był w Europie do XIV wieku. Dzisiaj również ich używamy, ale rzadko, w szczególnych przypadkach: do numeracji wieków, tomów, ksiąg, rozdziałów, imion panujących władców. 
Porównajmy:Wiek XX niedługo się skończy.Znajdziesz tę informację w II tomie encyklopedii.Czasy panowania Henryka VIII zostały interesująco pokazane.
Po cyfrach rzymskich nigdy nic nie dopisujemy, czyli ani kropki, ani końcówki. Inaczej sprawa wygląda z cyframi arabskimi, czyli 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej. Cyfry te pochodzą z Indii, ale do Europy Zachodniej przenieśli je w X - XIII wieku Arabowie i właśnie, dlatego nazywamy je cyframi arabskimi. Używamy ich dzisiaj powszechnie. Do końca XV wieku wyparły one całkowicie z rachunkowości niewygodne cyfry rzymskie. Po cyfrach arabskich nie dopisujemy nigdy końcówek (podobnie jak po cyfrach rzymskich). Po cyfrach arabskich oznaczających liczebniki główne (np. 1 = jeden; 3 = trzy), zbiorowe (np. 2 = dwoje; 5 = pięcioro) i ułamkowe (np. 1/2 = jedna druga; 3/4= trzy czwarte) nigdy nie dajemy kropki. 

Nie można na przykład zapisać liczby 1999 w postaci MIM, tylko jako MCMXCIX. Kierują tym dwie zasady: Liczba rzymska składa się z wydzielonych fragmentów, które są równoznaczne z cyframi arabskimi. W naszym przykładzie takimi "cyfrowymi fragmentami" były:M - 1000CM - 900XC - 90IX - 9Czterysta, czterdzieści i cztery mają analogiczne budowy: CD, LX, IV. To samo dotyczy wszystkich innych liczb tego typu (np. VII, LXX, DCC). 
Nie można na przykład zapisać liczby 1999 w postaci MIM, tylko jako MCMXCIX. Kierują tym dwie zasady: Liczba rzymska składa się z wydzielonych fragmentów, które są równoznaczne z cyframi arabskimi. W naszym przykładzie takimi "cyfrowymi fragmentami" były:M - 1000CM - 900XC - 90IX - 9Czterysta, czterdzieści i cztery mają analogiczne budowy: CD, LX, IV. To samo dotyczy wszystkich innych liczb tego typu (np. VII, LXX, DCC).
 
1 , 2